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0 引言

經(jīng)典機(jī)械精度設(shè)計(jì)理論把各個(gè)誤差項(xiàng)看成是確定的量，現(xiàn)代機(jī)械精度設(shè)計(jì)理論認(rèn)為各個(gè)誤差項(xiàng)在隨機(jī)因素的影響下是隨機(jī)量。經(jīng)典機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)理論主要是對機(jī)械部件的疲勞強(qiáng)度可靠性進(jìn)行設(shè)計(jì)，現(xiàn)代機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)理論已經(jīng)滲透到機(jī)械精度可靠性設(shè)計(jì)中，機(jī)械精度可靠性設(shè)計(jì)是機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)的重要方面。文獻(xiàn)研究了不完全概率信息下牛頭刨床主運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性穩(wěn)健設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)以2K-V型減速機(jī)為研究對象，綜合考慮系統(tǒng)中各零件的加工誤差、安裝誤差、間隙及其齒輪嚙合剛度、軸承剛度等因素對傳動(dòng)精度產(chǎn)生的影響，建立了該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)傳動(dòng)精度非線性動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型。文獻(xiàn)提供了一種少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)輸出運(yùn)動(dòng)誤差的數(shù)值計(jì)算方法。文獻(xiàn)分別用矩陣法和作用線增量法建立了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度誤差分析模型。文獻(xiàn)對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)題進(jìn)行了初步探索。文獻(xiàn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)的范疇內(nèi)，探討了運(yùn)動(dòng)副間隙對機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出精度的影響。文獻(xiàn)考慮徑向跳動(dòng)、軸向跳動(dòng)和齒距累積誤差的影響，推導(dǎo)出了傳動(dòng)鏈線性誤差公式。文獻(xiàn)建立了基于模糊數(shù)的機(jī)械精度模糊可靠性的基本模型。

上述文獻(xiàn)沒有把精度設(shè)計(jì)理論和可靠性設(shè)計(jì)理論結(jié)合起來對齒輪傳動(dòng)精度進(jìn)行研究，并且沒有考慮多因素綜合作用下齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)精度可靠性。本文結(jié)合機(jī)械精度設(shè)計(jì)理論和機(jī)械可靠性設(shè)計(jì)理論，首次建立多因素綜合作用下的數(shù)控機(jī)床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)精度可靠性模型，并計(jì)算出多因素作用下進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)精度可靠度，利用靈敏度設(shè)計(jì)理論對影響傳動(dòng)精度因素的重要度進(jìn)行排序，找出精度可靠性的薄弱環(huán)節(jié)，提出提高進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)精度可靠性的措施，并將其應(yīng)用在某數(shù)控重型臥式車床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的精度可靠性設(shè)計(jì)中。該研究方法對解決其他精度可靠性設(shè)計(jì)問題同樣具有參考價(jià)值。

1　傳動(dòng)精度的概念

當(dāng)i=1時(shí)，φi與φo之間的關(guān)系曲線如圖1ａ中的直線1所示。在實(shí)際傳動(dòng)過程中輸出軸的轉(zhuǎn)角總會(huì)存在誤差。圖1b中，曲線2表示單向回轉(zhuǎn)時(shí)，由于存在轉(zhuǎn)角誤差Δφ，輸出軸轉(zhuǎn)角φo與輸入軸轉(zhuǎn)角φi之間的關(guān)系。

轉(zhuǎn)角誤差Δφ與其在分度圓上的線性誤差Δ之間有如下關(guān)系：
Δφ=3.44Δ/r=6.88Δ/d                             （2）
式中，r為齒輪分度圓半徑，mm；d為齒輪分度圓直徑，mm。

2　進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)精度可靠性模型

2.1　精度可靠度基本概念

產(chǎn)品在規(guī)定的加工、測量和裝配條件下，其實(shí)際精度滿足設(shè)計(jì)要求的概率稱為產(chǎn)品精度的可靠度。假定產(chǎn)品的實(shí)際精度用b表示，其設(shè)計(jì)精度為[b]。考慮加工、測量、裝配的隨機(jī)因素，其實(shí)際精度滿足[b]的要求為一隨機(jī)事件A，則產(chǎn)品精度的可靠度為
R=P（A）=P（b＜ [b]）                      （3）
產(chǎn)品的實(shí)際精度不能滿足設(shè)計(jì)要求稱為失效，記為A，則其失效概率為

2.2　精度可靠性數(shù)學(xué)模型

齒輪傳動(dòng)過程中，影響齒輪傳動(dòng)誤差的因素主要是齒輪本身的加工誤差，以及齒輪的裝配偏心等誤差。影響齒輪傳動(dòng)裝置傳動(dòng)精度的主要因素除齒輪本身的誤差因素外，還有中心距偏差、傳動(dòng)軸彈性變形及溫度變化等。由上可知，齒輪傳動(dòng)裝置或傳動(dòng)鏈的傳動(dòng)誤差是由齒輪的制造誤差和安裝誤差造成的，是傳動(dòng)鏈中齒輪本身、所在軸和軸承等零部件制造裝配時(shí)誤差的綜合作用的結(jié)果。

2.2.1　傳動(dòng)誤差精度可靠性模型

在綜合考慮切向綜合誤差（幾何偏心、運(yùn)動(dòng)偏心、基節(jié)偏差、齒廓偏差）、齒距累積誤差、齒輪徑向跳動(dòng)、公法線長度變動(dòng)、軸的徑向跳動(dòng)、齒輪與軸的配合間隙、滾動(dòng)軸承內(nèi)外圈徑向跳動(dòng)因素的作用下，假設(shè)各個(gè)誤差項(xiàng)都符合正態(tài)分布，建立的一對齒輪的傳動(dòng)誤差的均值μ1，2和標(biāo)準(zhǔn)差σ1，2的數(shù)學(xué)模型如下：

式中，F(xiàn)′i1、F′i2分別為齒輪1、2的切向綜合誤差，μm；Fp1、Fp2分別為齒輪1、2的齒距累積誤差，μm；Fr1、Fr2分別為齒輪1、2的徑向跳動(dòng)公差，μm；Fw1、Fw2分別為齒輪1、2的公法線長度變動(dòng)公差，μm；s1、s2分別為軸1、2的徑向跳動(dòng)公差，μm；Ｃ1、Ｃ2分別為齒輪與軸的配合間隙公差，μm；U1、U2分別為滾動(dòng)軸承內(nèi)外滾道徑向跳動(dòng)公差，μm；ｚ2為從動(dòng)輪2的齒數(shù)；mn為齒輪的法面模數(shù)，mm。

2.2.2　齒輪傳動(dòng)誤差的統(tǒng)計(jì)計(jì)算式

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的綜合式為

式中，μφl為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差折算到輸出軸l上的傳動(dòng)誤差的均值；σφl為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差折算到輸出軸l上的傳動(dòng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差；σK-1，K為第K-1與第K個(gè)齒輪折算到第K個(gè)齒輪所在軸上的傳動(dòng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.2.3　齒輪機(jī)構(gòu)傳動(dòng)誤差可靠度計(jì)算

式中，F(xiàn)（x）為傳動(dòng)誤差的正態(tài)分布函數(shù)；φ（x）為傳動(dòng)誤差標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

3　某重型車床精度可靠性分析

某數(shù)控重型臥式車床的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖見圖3，圖中，Ｚi是齒輪i的編號(hào)。運(yùn)動(dòng)由Ⅰ軸輸入，經(jīng)過Ⅱ軸、Ⅲ軸到達(dá)Ⅳ軸，傳動(dòng)系統(tǒng)在Ⅳ軸被分成兩個(gè)分支，分別是Ⅳ-Ⅴ-Ⅵ和Ⅳ-Ⅶ-Ⅷ，Ⅳ軸和Ⅴ軸、Ⅳ軸和Ⅶ軸之間分別采用斜齒輪液壓消隙機(jī)構(gòu)使輸出軸Ⅵ軸、Ⅷ軸向兩側(cè)壓緊，達(dá)到消除間隙的目的。

該數(shù)控重型臥式車床的定位精度要求是[-0.01mm，0.01mm]，但是由于該車床的工作負(fù)載大，進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度隨著時(shí)間的推移會(huì)不斷下降，精度保持性、精度可靠性不高，本文通過理論分析，完成以下工作：
（1）對進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行精度可靠性建模，定量評(píng)估和預(yù)測現(xiàn)有進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)際精度滿足設(shè)計(jì)定位精度[-0.01mm，0.01mm]的可靠度。
（2）利用精度可靠性模型分析影響進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)定位精度的主要因素，對影響傳動(dòng)精度因素的重要度進(jìn)行排序，找出精度可靠性的薄弱環(huán)節(jié)，對薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，以提高整個(gè)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的精度可靠性。

3.1　結(jié)構(gòu)改進(jìn)前的精度可靠性分析

該數(shù)控重型臥式車床進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪副的主要參數(shù)如表1所示。 

利用式（5）所示的數(shù)學(xué)模型，分別求出每一級(jí)齒輪的傳動(dòng)誤差折算到從動(dòng)輪所在軸上的傳動(dòng)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，計(jì)算結(jié)果如下：
σφ2=0.2736′,σφ4=0.2386′,σφ6=0.2334′,σφ8＝0.2978′,σφ10 =0.3867′
由式（7）可知，齒輪進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差折算到輸出軸上的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為
將進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的線性定位精度[-0.01mm，0.01mm]轉(zhuǎn)化成角度定位精度為[-0.5067′，0.5067′]，由式（8）可得進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)精度的可靠度為
R=P（-0.5067′≤Δφl ≤0.5067′）=69.22%     （10）

3.2　理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比

利用雙頻激光干涉儀，按照標(biāo)準(zhǔn)Gb/T17421.2
-2000（ISO 230-2:1997）對該數(shù)控重型臥式車床進(jìn)行精度可靠性實(shí)驗(yàn)，在工作區(qū)間內(nèi)等間距地取10個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，每一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)i距初始選定點(diǎn)的距離及其精度偏差如表2所示（j為測量次數(shù)）。 

由分析結(jié)果可知，此齒輪進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的精度可靠度不高，主要是由于該進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)采用經(jīng)驗(yàn)與類比的設(shè)計(jì)方法，經(jīng)驗(yàn)類比設(shè)計(jì)方法存在很多缺陷與不足。

3.3　結(jié)果分析與改進(jìn)措施

3.3.1　輸入輸出軸精度可靠性薄弱環(huán)節(jié)分析

將式（9）寫成如下形式：
σφl =σφl（σ1，2，σ3，4，σ5，6，σ7，8，σ9，10）
將其按照多元函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開公式展開，省略高階項(xiàng)可得
σφl＝3.2107×10-4σ1,2＋0.0045σ3,4＋0.0701σ5,6＋0.5993σ7，8+0.7782σ9,10                            （11）
由式（11）可知，σK-1，K（K=2,4,6,8,10）的權(quán)系數(shù)越大，σK-1，K的靈敏度越高，即對進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度的影響越大，σK-1，K（K=2,4,6,8,與σφl的關(guān)系如圖4所示。 

改進(jìn)措施：對于該數(shù)控重型臥式車床的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)，可降低輸入軸上齒輪副精度，提高輸出軸上齒輪副精度。

3.3.2　齒輪副精度可靠性薄弱環(huán)節(jié)分析

分析齒輪切向綜合誤差F′i、齒距累計(jì)誤差Fp、齒輪徑向跳動(dòng)Fr、公法線長度變動(dòng)Fw、軸的徑向跳動(dòng)s、齒輪與軸的配合間隙Ｃ、滾動(dòng)軸承內(nèi)外圈徑向跳動(dòng)U對傳動(dòng)誤差的影響程度，計(jì)算考慮單一因素的齒輪傳動(dòng)誤差，利用式（5），保留考慮的因素，不考慮的因素置零，計(jì)算結(jié)果如表3所示。切向綜合誤差的重要度指只考慮切向綜合誤差所計(jì)算的傳動(dòng)誤差與考慮全部因素所計(jì)算的傳動(dòng)誤差的比值，其他誤差項(xiàng)重要度的定義與此相同。

由此計(jì)算出上述7個(gè)因素對齒輪傳動(dòng)精度重要度的大小，計(jì)算結(jié)果如表3所示。由表3可知，對傳動(dòng)精度影響最大的因素是切向綜合誤差。切向綜合誤差是在接近齒輪的工作狀態(tài)下測量的，是幾何偏心、運(yùn)動(dòng)偏心、基節(jié)偏差、齒廓偏差綜合測量的結(jié)果，是評(píng)定齒輪傳動(dòng)準(zhǔn)確性的首選指標(biāo)。改進(jìn)措施：對于該數(shù)控重型臥式車床的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)，應(yīng)該著重減小齒輪的切向綜合誤差，這樣會(huì)明顯提高進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的傳動(dòng)精度。

3.4　結(jié)構(gòu)改進(jìn)后的精度可靠性分析

3.4.1　輸入輸出精度調(diào)整后精度可靠性分析

當(dāng)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的齒輪全部采用5級(jí)精度時(shí)，齒輪進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差折算到輸出軸上的傳動(dòng)誤差是0.49691′，此時(shí)，由式（8）計(jì)算出的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的精度可靠度為69.22%。當(dāng)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的第一級(jí)齒輪采用6級(jí)精度、其余齒輪采用5級(jí)精度時(shí)，齒輪進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差折算到輸出軸上的傳動(dòng)誤差是0.49696′，此時(shí)，由式（8）計(jì)算出的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的精度可靠度也是69.22%。當(dāng)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的最后一級(jí)齒輪副采用4級(jí)精度、其余齒輪采用5級(jí)精度時(shí)，齒輪進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差折算到輸出軸上的傳動(dòng)誤差是0.42001′，由式（8）計(jì)算出的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差的可靠度為
R＝P（-0.5067′≤Δφl≤0.5067′）=76.98%
該數(shù)控重型臥式車床的進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪副不同的組合精度等級(jí)對進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)精度可靠度的影響如圖5所示，由圖5可見，輸入端齒輪精度的降低對整個(gè)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的定位精度的影響可以忽略，輸出端齒輪精度的升高對整個(gè)進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的定位精度的影響很大。

3.4.2　齒輪誤差項(xiàng)調(diào)整后精度可靠性分析

僅將齒輪的切向綜合誤差提高一個(gè)精度等級(jí)時(shí)，計(jì)算出齒輪進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)誤差折算到輸出軸上的誤差為σφl=0.4281′，此時(shí)計(jì)算出的該進(jìn)給傳動(dòng)系統(tǒng)的精度可靠度為r=p（-0.5067′≤Δφl≤0.5067′）=76.20%。

4 結(jié)論